Picture
​Κάντε κλικ στην εικόνα.
Η αρμονία της κίνησης του NEYMAR  μοιάζει με τη γραφική παράσταση μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης . Οι σέντρες του λες και έγιναν με κανόνα και διαβήτη . Μπορεί να μη  ξέρει Μαθηματικά,  αλλά σίγουρα τα νιώθει και τα εκφράζει όποτε του δίνετε η ευκαιρία . Απολαύστε τον ... Α... αν κολλάει το video πατήστε play και pause  αμέσως για να κατέβει . Μέχρι τότε διαβάστε λίγο τις παραγώγους για να καταλάβετε καλύτερα τις κινήσεις του .

Διαφορικός Λογισμός (NEW: ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ)

Picture
Πριν διαβάσετε  τις σημειώσεις του Διαφορικού Λογισμού πιο κάτω  , θεωρώ σκόπιμο να δείτε ένα εισαγωγικό video , που δίνει την κεντρική ιδέα της παραγώγου συνάρτησης. Το video είναι στα Αγγλικά , πιστεύω όμως να μην αποτελεί πρόβλημα. Ωστόσο δίπλα από το video έχω γράψει περιληπτικά όσα ακούγονται . Μία άλλη δραστηριότητα , την οποία  προτείνω είναι και το πρόγραμμα από το WolframAlpha , που πραγματικά αξίζει να  επεξεργαστείτε.
Τέλος μπορείτε μέσω του GeoGebra  να δείτε τη γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου f'(xo).

Κάτι σαν υπότιτλοι.

Περιμένω σχόλια εδώ.
Παρακάτω είναι η θεωρία των Μαθηματικών Κατεύθυνσης  στο 2ο κεφάλαιο της Ανάλυσης. Το προηγούμενο κεφάλαιο των Συναρτήσεων το είδαμε εδώ. Αν θέλετε να κατεβάσετε τη θεωρία του Διαφορικού Λογισμού  πατήστε εδώ.  Καλό διάβασμα και όπως έχω πει ,οι σημειώσεις που ανεβάζω  δεν αντικαθιστούν το βιβλίο , απλά το συμπληρώνουν. Για τη θεωρία του Ολοκληρωτικού Λογισμού πατήστε εδώ.
Για τυχόν παρατηρήσεις περιμένω σχόλιο εδώ.
Μια συλλογή από άκρως απαραίτητες επισημάνσεις στο 2ο κεφάλαιο Ανάλυσης : Διαφορικός Λογισμός , του Σχολικού Συμβούλου Ι.Μπουρνάκη , παρουσίαζονται παρακάτω. Ο Σχολικός Σύμβουλος δίνει έμφαση στις λεπτομέρειες, που όμως κάνουν τη διαφορά και ξεχωρίζουν οι άριστοι μαθητές. Πρόκειται για ένα διπλό αρχείο, που πρέπει να το μελετήσουμε όλοι οι Μαθηματικοί προκειμένου οι μαθητές μας να αποφύγουν λάθη , που κάνουν χωρίς να το καταλάβουν.
Προσοχή μόνο στα σχόλια που κάνει σχετικά με την εξεταστέα ύλη , αφού δεν αφορούν την φετινή χρονιά.
Α ΜΕΡΟΣ
Για να κατεβάσετε το Α ΜΕΡΟΣ πατήστε εδώ.
Β ΜΕΡΟΣ
Για να κατεβάσετε το Β ΜΕΡΟΣ πατήστε εδώ.

Eύρεση πρώτης παραγώγου

Η συγκεκριμένη εφαρμογή από το WolframAlpha  βρίσκει την 1η παράγωγο μιας συνάρτησης και όχι μόνο.
Ο συμβολισμός της παραγώγου που χρησιμοποιείται είναι  του Leibniz:
f'(x)= df(x)/dx
Ποσοχή , σε ορισμένες γραφικές παραστάσεις , που σχεδιάζει μπλέκει λίγο και τους μιγαδικούς αριθμούς. Κατά τα άλλα βρίσκει το Πεδίο Ορισμού , αλλά και το Σύνολο Τιμών της παραγώγου.

ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ GEOGEBRA

Picture
Στην εφαρμογή , που παρουσιάζω παρακάτω  ,του συναδέλφου Παναγιώτη Σιφώνια , μπορούμε να κατανοήσουμε τη γεωμετρική ερμηνεία της παραγώγου μιας συνάρτησης f σε ένα σημείο χ του πεδίου ορισμού της και πως συσχετίζεται με την μονοτονία και τα ακρότατα της f . Πάμε όμως να τα δούμε όλα αυτά συνοπτικά , με ένα απλό παράδειγμα πολυωνυμικής συνάρτησης.
Στην παρακάτω γραφική παράσταση της f , έχουμε ένα σημείο Α το οποίο εύκολα μπορείτε να το μετακινήσετε με το ποντίκι. Ταυτόχρονα βλέπουμε και την εφαπτόμενη ευθεία ε της γραφ. παρασ. της f  στο σημείο αυτό με τηνκλίση της m .
  • Μετακινήστε το σημείο Α και δείτε την μεταβολή της κλίσης m καθώς μεταβάλλεται η ευθεία ε.
  • Εμφανίστε την παράγωγο της f πατώντας το τετραγωνάκι .
  • Μετακινήστε το σημείο Α ξανά και παρατηρήστε την τεταγμένη y του σημείου Β και την κλίση  m της ευθείας ε.                          Τι παρατηρείτε ; 
Είναι λοιπόν προφανές ότι η κλίση m της εφαπτομένης ε είναι η τεταγμένη y  του Β. 

Πάμε τώρα να μελετήσουμε τη μονοτονία της f .
  • Πατήστε ξανά το τετραγωνάκι της παραγώγου  f΄ , ώστε να εξαφανιστεί.
  • Να βρείτε τα διαστήματα στα οποία είναι f  είναι γνησίως αύξουσα - φθίνουσα .
  • Στη συνέχεια πατήστε να εμφανιστεί η Παράγωγος της f
  • Βρείτε τα διαστήματα στα οποία η f' είναι θετική-αρνητική (Μετά θα δούμε που η f'(x)=0) .
  • Τι παρατηρείται στη σχέση ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΤΗΣ f - ΠΡΟΣΙΜΟ ΤΗΣ f' ; 
  • Μετακινήστε το σημείο Α από τα αριστερά προς τα δεξιά  και παρατηρήστε το σημείο Β .
    Με την μετακίνηση αυτή είναι εύκολο να διαπιστώσουμε ότι όσο το σημείο Α κινείται από τα αριστερά προς τα δεξιά και συναντά μία γνησίως αύξουσα πορεία (ανηφόρα) το σημείο Β της f' κινείται από τον χχ' και πάνω (f'(x)>0 ή f'(x)=0). Ενώ όσο το σημείο Α συναντά μία γνησίως φθίνουσα πορεία (κατηφόρα) το σημείο Β κινείται  από τον χ'χ και κάτω (f'(x)<0 ή f'(x)=0).
  • Με ανάλογο σκεπτικό μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι  οι θέσεις τοπικών ακροτάτων της f είναι οι δύο ρίζες της f'  (ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ FERMAT).
 Εδώ πρέπει να τονίσουμε ότι για να ισχύουν τα πιο πάνω   θα πρέπει η f να παραγωγίζεται στα εσωτερικά σημεία του Π.Ο. της (πράγμα που ισχύει αφού είναι πολυωνυμική).
Περιμένω σχόλια εδώ.