• ΑΡΧΙΚΗ
    • ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ
  • Γ ΄ ΕΠΑ.Λ.
    • ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
    • ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
    • ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΌΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ >
      • Εισαγωγή στις Συναρτήσεις
    • ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
    • ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
  • ΤΟΜΕΙΣ
    • ΑΛΓΕΒΡΑ >
      • Κλάσματα >
        • Ιστοεξερεύνηση στα Κλάσματα (WEBQUEST)
      • Εξισώσεις 1ου βαθμού
      • Εξισώσεις 2ου βαθμού
      • Παραγοντοποίηση
      • Μιγαδικοί αριθμοί (UPDATED) >
        • Θεωρία Μιγαδικών Αριθμών
    • ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ >
      • Εισαγωγή στην Τριγωνομετρία . >
        • Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας
        • Ημίτονο - Συνημίτονο Οξείας Γωνίας
        • Οι Τριγωνομετρικοί Αριθμοί των γωνιών 30, 45, 60 μοιρών.
      • Σύστημα αξόνων
      • Τριγωνομετρικός κύκλος
      • Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
    • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ >
      • Πυθαγόρειο Θεώρημα >
        • Διαδραστική Αφίσα στο Πυθαγόρειο Θεώρημα
        • Φύλλο Εργασίας (Β΄γυμνασίου)
      • Επίκεντρη-Εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο.
      • Όγκος πυραμίδας
      • Ισότητα Τριγώνων
      • Διχοτόμος γωνίας
      • Μεσοκάθετος Ευθύγραμμου Τμήματος
    • ΑΝΑΛΥΣΗ >
      • Εισαγωγή στις Συναρτήσεις >
        • Η έννοια της συνάρτησης
        • Κατρεσιανές συντεταγμένες- Γραφική παράσταση
        • Η συνάρτηση y=αχ
        • Η συνάρτηση y=αχ+β
        • Επανάληψη στις y=αχ και y=αχ+β
        • Η συνάρτηση y=α/χ
      • Συναρτήσεις-Όρια -Συνέχεια >
        • Φύλλο Εργασίας : Θεώρημα Bolzano και Θ.Ε.Τ.
      • Διαφορικός Λογισμός
      • Ολοκληρωτικός Λογισμός
  • ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
    • ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ >
      • Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών (Πεντέλης)
      • CERN: Ένα ταξίδι στο κέντρο της ....Επιστήμης.
    • ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ-ΕΡΕΥΝΑ >
      • Εξοικονόμηση Ηλεκτρικής Ενέργειας
      • Το Πείραμα του Ερατοσθένη
      • Μέτρηση του Ύψους μιας Πυραμίδας (ΘΑΛΗΣ)
      • Μαθηματικά και Περιβάλλον
      • Οι Αριθμοί του Δάσους
      • Το Διαδίκτυο
      • Υπατία
    • ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ >
      • Τρισδιάστατο Αστέρι
      • Origami >
        • origami crane
        • origami lily
        • origami cube
        • origami pyramid
      • moebius strip
      • Κύβος από 3 πυραμίδες
      • Ζωγραφίζοντας Μεγάλους Αριθμούς
      • Ζωγραφίζοντας με κύκλους
      • Μα καλά και στο χαρταετό υπάρχουν Μαθηματικά;
      • Κατασκευάζοντας ένα Ολόγραμμα
    • ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ >
      • Tangram
      • Δυνάμεις του 2
    • ΓΡΙΦΟΙ >
      • Το μπουκάλι
      • 3 χωριά και 3 βρύσες
      • 2 αριθμητικοί γρίφοι
      • Ανακαλύπτοντας τα κλάσματα
    • ΒΙΒΛΙΑ >
      • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ
      • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (e-books) >
        • 501 ΛΥΜΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
        • Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
        • ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
        • ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
        • Στο δρόμος για τον PISA , του Γ. Ι. ΡΙΖΟΥ
        • Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής
      • Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στην Αρχαία Ελλάδα
      • LOGICOMIX
      • GEOMETRICO (e-book)
      • Ευκλείδη ''Στοιχεία'' (e-book)
      • ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ ΠΟΙΗΣΑΙ
      • Sangaku the Japanese temple Geometry
      • ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΦΕΡΜΑ.
      • ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ, Η εμμονή με τους πρώτους αριθμο&#
    • ΤΑΙΝΙΕΣ >
      • {proof}
      • A BEAUTIFUL MIND
      • ΤΟ ΚΥΜΑ (Die Welle , ONLINE)
      • Ανάμεσα στους τοίχους (ONLINE)
      • ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ (ΝΤΟΚΙΜΑΝΤΕΡ, ONLINE)
      • Teachers A day in the life (ντοκιμαντερ , ONLINE)
      • The Red Ballon (ONLINE)
      • ΈΤΕΡΟΣ ΕΓΩ (ONLINE)
  • VIDEO
  • LINKS
  • ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
    • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ. Γ΄ ΓΕ.Λ.
    • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ. Π. Γ΄ ΓΕ.Λ.
    • B' ΓΕ.Λ. : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ >
      • ΑΛΓΕΒΡΑ
      • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
      • MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
    • Α ΄ ΓΕ.Λ. : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ >
      • ΑΛΓΕΒΡΑ >
        • Εκφωνήσεις και λύσεις των θεμάτων της Άλγεβρ
      • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
    • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΤΑΞΗ ΕΠΑΛ
    • Α ΄ ΕΠΑ.Λ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ >
      • ΑΛΓΕΒΡΑ
      • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
  • I.B.
    • I.B. EXAM PAPERS >
      • Mathematics Higher Level
    • Math internal : complex numbers >
      • Answer
    • Math internal : The Koch Snowflake >
      • Answer
    • Summer Review Math HL >
      • 106 problems
      • Solutions
  • ΙΣΤΟΛΟΓΙΟ
COMMON MATHS

Ζωγραφίζοντας με κύκλους 

Τι λέτε να ζωγραφίσουμε εντυπωσιακά σχέδια με τη βοήθεια περιστρεφόμενων κύκλων και γιατί όχι να τα εκτυπώσετε και να διακοσμήσετε είτε τα τετράδια σας είτε το δωμάτιό σας. Όπως είναι φυσικό αυτή η δραστηριότητα θα αποτελέσει μία καλή ευκαιρία για να γνωρίσουμε τον κύκλο και τις ιδιότητές του και όχι μόνο...Τα υπόλοιπα Μαθηματικά τα αφήνω για έκπληξη. Η ιστοσελίδα που φιλοξενεί την δραστηριότητα είναι η www.mathplayground.com.
Picture
Κάντε κλικ εδώ  και θα δείτε τη διπλανή εικόνα .... 
Λογικά τώρα θα έχετε μπροστά σας  το περιβάλλον που θα εργαστείτε  , οπότε είστε έτοιμοι για να δημιουργήσετε τα μοτίβα που θέλετε.
Picture
Picture

Πριν ξεκινήσετε αυξομειώστε  τις ακτίνες των 2 κύκλων , αλλά και το μήκος της γραφίδας. Μια μικρή αλλαγή στα 3 μήκη δημιουργεί εντυπωσιακές μεταβολές στο σχέδιο.
Τώρα δεν έχετε παρά να πειραματιστείτε , γι' αυτό πατήστε το εικονίδιο που έχει το κόκκινο βέλος. Ο μοβ κύκλος θα παραμείνει σταθερός και ο πορτοκαλή κύκλος  θα γυρίζει γύρω από αυτόν . Αν ξανά πατήσετε το ίδιο εικονίδιο η κίνηση σταματάει .

Σταματώντας την κίνηση έχετε τη δυνατότητα να να αλλάξετε το χρώμα της γραφίδας (βλέπε το κόκκινο βέλος) και να κάνετε το σχήμα εντυπωσιακότερο. Μόλις αλλάξετε το χρώμα πατάτε ξανά το εικονίδιο με το μολύβι και η κίνηση ξανά αρχίζει.
Έχω ανεβάσει παραδείγματα πολύχρωμων μοτίβων, οπότε νομίζω ότι καταλαβαίνετε τι εννοώ.
Τελειώνοντας μπορείτε να κρύψετε τους κύκλους        ( βλέπε το πράσινο βέλος ) και η ζωγραφιά είναι έτοιμη.
Η δραστηριότητα αυτή μπορεί να συνδυαστεί με την εφαρμογή paint (ζωγραφική ) και να αποθηκεύσετε τα σχέδια στον Η/Υ ως εικόνες. 
Καλή διασκέδαση , περιμένω σχόλια και σχέδια που φτιάξατε εδώ.
Παρακάτω έχετε τη δυνατότητα να δείτε μερικές δημιουργίες, μετά από πειραματισμούς, που έκανα εγώ και ο γιος μου.
Κάντε κλικ πάνω στις εικόνες και θα μεγεθυνθούν. Σε μερικά σχέδια υπάρχουν και οι ρυθμίσεις για να τις δημιουργήσετε και εσείς.
Καλά διασκεδάσετε τώρα, νομίζω όμως ότι είναι ώρα για να δούμε και τα Μαθηματικά που κρύβονται πίσω από τα μοτίβα αυτά.
Picture
Πατήστε το τετράγωνο που δείχνει το βελάκι στη διπλανή εικόνα και θα δείτε το παρακάτω περιβάλλον :
Picture
Το ταξίδι στη Μαθηματική γνώση μόλις αρχίζει. Μην ανησυχείτε θα είναι σύντομο , περιεκτικό και αρκετά ενδιαφέρον για όλα τα Μαθηματικά γούστα. Όπως βλέπετε ξεκινάει με τους απλούς ορισμούς και βήμα βήμα σας οδηγεί σε ολοένα πιο απαιτητικές Μαθηματικές έννοιες. 
Πατήστε το ορθογώνιο κάτω αριστερά << Circle Facts>> εκεί που λέει Start Here και θα δείτε την παρακάτω εικόνα.
Picture
 Έτσι λοιπόν περνάμε σε πιο αναλυτικούς ορισμούς, της ακτίνας, της διαμέτρου και της σχέσης τους: διάμετρος=2χ(ακτίνα) , στην περιμέτρο του κύκλου, τον αριθμό π  αλλά και στο μέτρο του κύκλου ως τόξο. Κάτω δεξιά (μπλε δρομέας)  έχετε τη δυνατότητα να αυξομειώσετε την ακτίνα του κύκλου και να διαπιστώσετε ότι <<ο λόγος της Περιμέτρου ενός κύκλου ως προς την διάμετρό του είναι πάντα σταθερός και ίσος με τον ''μαγικό'' αριθμό π>>. Πατώντας το επόμενο ορθογώνιο          ( ΝΕΧΤ ) << A Circular Problem>> , θα δείτε το παρακάτω περιβάλλον :

Picture
Εδώ , μπορείτε να κινήσετε το πορτοκαλί τετράγωνο και να δείτε τις συντεταγμένες 4ων γνωστών σημείων , μπορείτε να τις βρείτε;  
Για τα υπόλοιπα σημεία τι γίνεται , δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τις συντεταγμένες τους ;
Με αφορμή αυτόν τον προβληματισμό συνδέουμε  τη γωνία που σχηματίζουν η ακτίνα του κύκλου και ο θετικός ημιάξονας των χ , με τις συντεταγμένες του σημείου. Ουσιαστικά περνάμε στην περιοχή της Τριγωνομετρίας. Πάμε λοιπόν λίγο παρακάτω πατώντας πατώντας το επόμενο ορθογώνιο ( Ok, but how???) << Function Machines>> , θα δείτε το παρακάτω περιβάλλον :
Picture
Λοιπόν εδώ έχει μία ενδιαφέρουσα εφαρμογή , ώστε οι μαθητές να εξοικειωθούν με την έννοια της συνάρτησης ( Function Machines ).
Άντε να σας βοηθήσω λίγο , πάνω δεξιά βλέπετε δύο στήλες από 3 αριθμούς , πρέπει να λοιπόν να μαντέψετε με ποιον τρόπο :
το 4 έγινε 39
το 3 έγινε 29 και 
το 9 έγινε 89 

Αν δεν μπορείτε να βρείτε τη συνάρτηση πατάτε το <<show>> και σας δείχνει :
Picture
 Πατώντας το << reset>>  έχετε όσες προσπάθειες θέλετε με άλλα τρία ζεύγη αριθμών , όρεξη να έχετε να σκέφτεστε.
Αφού γνωρίσετε την έννοια της συνάρτησης, στη συνέχεια θα δείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημίτονο (ημφ=sinφ) και  συνημίτονο(συνφ=cosφ) μιας γωνίας φ καθώς και τη σχέση που τους συνδέει με τις συντεταγμένες του αντίστοιχου σημείου ( πορτοκαλί τετραγωνάκι).
Πιο συγκεκριμένα , γνωρίζοντας τις τιμές των sine , cosine και έχοντας γνωστή την ακτίνα (radius) μπορούμε από τους πιο κάτω τύπους να βρούμε τις συντεταγμένες (χ,y)  , οποιουδήποτε σημείου που αντιστοιχεί στη γωνία ( angle). Οι τιμές των sine , cosine είναι γνωστές για όλες τις γωνίες.
Ρίχτε μια ματιά εδώ.

Picture
​

Τι λέτε να το δυσκολέψουμε λίγο; Πατήστε εκεί που δείχνει το πράσινο βέλος ( Moving with Circles) και πάμε να δούμε την τελευταία ενότητα , που είναι η γραφική παράσταση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων του ημιτόνου (sine) και του συνημιτόνου ( cosine). Ουσιαστικά συνδέει τις τιμές των 2 τριγωνομετρικών αριθμών με τις αντίστοιχες γωνίες ( από 0 μοίρες έως 1080 μοίρες). Βλέποντας την πιο κάτω εικόνα:
Picture
 Πατήστε μία φορά το μπλε τετράγωνο sine για να δείτε πως είναι η γραφική του παράσταση και μετά κάντε το ίδιο με το μοβ για το cosine. Η περιοδικότητα του φαινομένου είναι χαρακτηριστική , συσχετίστε την κίνηση των παρακάτω σχημάτων με την κάθε μία συνάρτηση και δείτε την απόλυτη αρμονία που έχουν μεταξύ τους. Προφανώς τα Μαθηματικά υπάρχουν παντού πόσο μάλλον και στα γραφικά των Η/Υ.
 Μια ωραία εφαρμογή ,που έχω φτιάξει με το λογισμικό GEOGEBRA, είναι η παρακάτω. Ουσιαστικά συνδέει το μέτρο μιας γωνίας ( ακτίνια=rad) με τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ημίτονο και συνημίτονο και βλέπουμε την γραφική τους παράσταση. Για μεγαλύτερα παιδιά ( Β΄λυκείου ) μπορείτε να δείτε ένα ενδιαφέρον φύλλο εργασίας εδώ σχετικά με τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Για να δείτε την εφαρμογή κινήστε το σημείο Ε . Στη συνέχεια κάντε ένα ένα κλικ στα 2 πρώτα τετραγωνάκια Συνημίτονο γωνίας -Ημίτονο γωνίας.
Τι λέτε όμως να γυρίσουμε στο αρχικό μας σημείο; Πάμε ξανά να δούμε τους κύκλους μας και γιατί όχι ......να αρχίσουμε να τους χαλάμε. Κάντε κλικ στο μοβ πλαίσιο: Drawing with Circles και θα δείτε το παρακάτω περιβάλλον:
Picture
Όπως μας λέει , φανταστείτε στον κύκλο με το πορτοκαλί τετραγωνάκι (βλέπε διπλανή εικόνα ) να υπήρχε ένας μαρκαδόρος που θα μπορούσε να γράφει με πολλά χρώματα ..... δε νομίζω ότι θα ήταν και πολύ εντυπωσιακό , αφού θα διέγραφε κάθε φορά έναν σταθερό , πολύχρωμο κύκλο , χωρίς να προκαλεί το ενδιαφέρον μας. Ωραία λοιπόν , πάμε να κάνουμε τις παρεμβάσεις ώστε να δώσουμε λίγο ενδιαφέρον στη δραστηριότητα , ας έχουμε τη δυνατότητα να μεταβάλουμε τη θέση του μαρκαδόρου μέσα ή έξω από τον κύκλο. Τι λέτε τώρα είναι αρκετό για να φτιάξουμε τα εντυπωσιακά σχέδια που είδατε πιο πάνω; Μπα δε νομίζω το μόνο που θα καταφέρναμε θα ήταν να φτιάχνονται κύκλοι με διαφορετικές ακτίνες. Νομίζω ότι πρέπει να σκεφτούμε κάτι διαφορετικό και αυτό είναι η περιστροφή ενός κύκλου γύρω από έναν άλλον. Πράγματι αν κάνετε κλικ σε κάθε μία από τις 4 πιο πάνω εικόνες στα λευκά τετράγωνα και θα δείτε μερικούς από τους εκατομμύρια  σχεδιασμούς που προκύπτουν . Είναι νομίζω ώρα να σας αφήσω και να ενεργήσετε μόνοι σας , περιμένω εδώ σχόλια και εντυπώσεις ...και γιατί όχι και φωτογραφίες από τα σχέδια που δημιουργήσατε. 
Καλή διασκέδαση.
Picture
Powered by Create your own unique website with customizable templates.