Κάντε κλικ στην εικόνα.
ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΜΟΥΣΙΚΗ
Η Μουσική και ο Πυθαγόρας είναι άρρηκτα συνδεδεμένα , καθότι ο μεγάλος αυτός Μαθηματικός ήταν ο εκφραστής της αρμονίας , που προέκυπτε από τον λόγο δύο τμημάτων. Έχοντας ως βασικό όργανο το Μονόχορδο , διαιρούσε την μία και μοναδική χορδή σε λόγους με ακέραιους όρους, οπότε κάθε φορά που ταλαντωνόταν παρήγαγε έναν ευχάριστο ήχο στον ακροατή. Έναν ήχο που έδινε ένα ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα και έτσι οδηγήθηκε στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν, όχι μόνο τον άψυχο, αλλά και τον έμψυχο κόσμο διαμέσου της μουσικής .
(Πηγή :musicheaven)
(Πηγή :musicheaven)
Πυθαγόρειο Θεώρημα(NEW)
<<Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας είναι ίσο με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών .>>
Ίσως το πιο γνωστό θεώρημα , που μάθαμε , και μας έμεινε τυπωμένο στη μνήμη . Ένα θεώρημα με μεγάλη ιστορία , η οποία για μερικούς αρχίζει στην Αρχαία Βαβυλωνία και για άλλους στην Αρχαία Αίγυπτο. Οι Βαβυλώνιοι και Αιγύπτιοι προκειμένου να κατασκευάσουν όλα τα αρχιτεκτονικά τους θαύματα , εφάρμοσαν τεχνικές που πραγματικά ήταν πολύ εντυπωσιακές , τεχνικές που έκρυβαν πολλά μαθηματικά , όχι όμως κατά ανάγκη θεωρητικά αποδεδειγμένα . Έτσι και το Πυθαγόρειο Θεώρημα είχε χρησιμοποιηθεί χωρίς να έχει αποδειχθεί , πράγμα που έκανε ο μεγάλος Πυθαγόρας o Σάμιος (580-500 π.Χ.) .
Για να μπείτε γρήγορα στη φιλοσοφία του Πυθαγορείου Θεωρήματος , αξίζει να δείτε το video 7 πατώντας εδώ.(NEW)
Ίσως το πιο γνωστό θεώρημα , που μάθαμε , και μας έμεινε τυπωμένο στη μνήμη . Ένα θεώρημα με μεγάλη ιστορία , η οποία για μερικούς αρχίζει στην Αρχαία Βαβυλωνία και για άλλους στην Αρχαία Αίγυπτο. Οι Βαβυλώνιοι και Αιγύπτιοι προκειμένου να κατασκευάσουν όλα τα αρχιτεκτονικά τους θαύματα , εφάρμοσαν τεχνικές που πραγματικά ήταν πολύ εντυπωσιακές , τεχνικές που έκρυβαν πολλά μαθηματικά , όχι όμως κατά ανάγκη θεωρητικά αποδεδειγμένα . Έτσι και το Πυθαγόρειο Θεώρημα είχε χρησιμοποιηθεί χωρίς να έχει αποδειχθεί , πράγμα που έκανε ο μεγάλος Πυθαγόρας o Σάμιος (580-500 π.Χ.) .
Για να μπείτε γρήγορα στη φιλοσοφία του Πυθαγορείου Θεωρήματος , αξίζει να δείτε το video 7 πατώντας εδώ.(NEW)
Υπάρχουν πολλές ιστορίες που λέγονται για τον Πυθαγόρα , μία από
αυτές τον θέλει να πληρώνει τον ένα και μοναδικό μαθητή του στη Σάμο με τρεις οβολούς το μάθημα , προκειμένου να τον μυήσει στις Πυθαγόρειες θεωρίες και να ικανοποιεί , με αυτό τον τρόπο το πάθος του για διδασκαλία . Στην συνέχεια , όμως διαπίστωσε ότι η αρχική αδιαφορία του μαθητή του μετατράπηκε σε ολοένα και μεγαλύτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά , οπότε για να δοκιμάσει το ζήλο του για μάθηση , επικαλέσθηκε αδυναμία πληρωμής στο μαθητή και του πρότεινε να σταματήσουν. Ο σπουδαστής , που το όνομά του λέγετε ότι ήταν Πυθαγόρας , του αντιπρότεινε να συνεχίσουν και να πληρώνει αυτός τώρα τον δάσκαλό του, πράγμα που έγινε αποδεχτό . Η συγκεκριμένη ιστορία μπορεί να είναι αληθινή , μπορεί και όχι , αλλά καταλαβαίνουμε ότι ήθελε να τονίσει το τεράστιο διδακτικό ταλέντο του Πυθαγόρα.
Μια άλλη ''σκοτεινή'' ιστορία θέλει τον Πυθαγόρα να πετάει έξω από το πλοίο , που έπλεε ανοιχτά , τον μαθητή του Πυθαγόρα Ίππασο τον Μεταποντινό επειδή αποκάλυψε δημόσια την ύπαρξη ασύμμετρων αριθμών όπως το ρίζα 2 . Ο Πυθαγόρας , ως γνωστό , είχε ιδρύσει την Πυθαγόρεια Αδελφότητα , στην οποία τα πάντα έμεναν κρυφά και τίποτα δεν έβγαινε προς τα έξω . Πέρα από τα μαθηματικά ο Πυθαγόρας είχε προσδώσει θε'ι'κές διαστάσεις στους αριθμούς και ειδικότερα στους κλασματικούς αριθμούς , οπότε η ύπαρξη ασύμμετρων αριθμών όπως του ρίζα 2 (η υποτείνουσα ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου κάθετης πλευράς ίση με ένα) δημιουργούσε ένα κενό στη κοσμοθεωρία του . Ούτε αυτή η ιστορία γνωρίζουμε αν είναι αληθινή ή όχι , αλλά με αυτόν τον τρόπο θέλουμε να δείξουμε ότι η Πυθαγόρεια σχολή δεν ήταν μια απλή Μαθηματική σχολή , ήταν μια θρησκευτική κοινότητα που λάτρευε τους αριθμούς ως είδωλα . Τα μέλη της πίστευαν ότι η κατανόηση των σχέσεων μεταξύ των αριθμών θα μπορούσε να αποκαλύψει τα πνευματικά μυστικά του σύμπαντος και να τους φέρει πιο κοντά στους θεούς. Για μια πιο διασκεδαστική προσέγγιση του θέματος, με ένα ενδιαφέρον video πατήστε εδώ (VIDEO 10)
(Πηγή: <<Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά>> του Simon Singh)
αυτές τον θέλει να πληρώνει τον ένα και μοναδικό μαθητή του στη Σάμο με τρεις οβολούς το μάθημα , προκειμένου να τον μυήσει στις Πυθαγόρειες θεωρίες και να ικανοποιεί , με αυτό τον τρόπο το πάθος του για διδασκαλία . Στην συνέχεια , όμως διαπίστωσε ότι η αρχική αδιαφορία του μαθητή του μετατράπηκε σε ολοένα και μεγαλύτερο ενδιαφέρον για τα μαθηματικά , οπότε για να δοκιμάσει το ζήλο του για μάθηση , επικαλέσθηκε αδυναμία πληρωμής στο μαθητή και του πρότεινε να σταματήσουν. Ο σπουδαστής , που το όνομά του λέγετε ότι ήταν Πυθαγόρας , του αντιπρότεινε να συνεχίσουν και να πληρώνει αυτός τώρα τον δάσκαλό του, πράγμα που έγινε αποδεχτό . Η συγκεκριμένη ιστορία μπορεί να είναι αληθινή , μπορεί και όχι , αλλά καταλαβαίνουμε ότι ήθελε να τονίσει το τεράστιο διδακτικό ταλέντο του Πυθαγόρα.
Μια άλλη ''σκοτεινή'' ιστορία θέλει τον Πυθαγόρα να πετάει έξω από το πλοίο , που έπλεε ανοιχτά , τον μαθητή του Πυθαγόρα Ίππασο τον Μεταποντινό επειδή αποκάλυψε δημόσια την ύπαρξη ασύμμετρων αριθμών όπως το ρίζα 2 . Ο Πυθαγόρας , ως γνωστό , είχε ιδρύσει την Πυθαγόρεια Αδελφότητα , στην οποία τα πάντα έμεναν κρυφά και τίποτα δεν έβγαινε προς τα έξω . Πέρα από τα μαθηματικά ο Πυθαγόρας είχε προσδώσει θε'ι'κές διαστάσεις στους αριθμούς και ειδικότερα στους κλασματικούς αριθμούς , οπότε η ύπαρξη ασύμμετρων αριθμών όπως του ρίζα 2 (η υποτείνουσα ενός ισοσκελούς ορθογωνίου τριγώνου κάθετης πλευράς ίση με ένα) δημιουργούσε ένα κενό στη κοσμοθεωρία του . Ούτε αυτή η ιστορία γνωρίζουμε αν είναι αληθινή ή όχι , αλλά με αυτόν τον τρόπο θέλουμε να δείξουμε ότι η Πυθαγόρεια σχολή δεν ήταν μια απλή Μαθηματική σχολή , ήταν μια θρησκευτική κοινότητα που λάτρευε τους αριθμούς ως είδωλα . Τα μέλη της πίστευαν ότι η κατανόηση των σχέσεων μεταξύ των αριθμών θα μπορούσε να αποκαλύψει τα πνευματικά μυστικά του σύμπαντος και να τους φέρει πιο κοντά στους θεούς. Για μια πιο διασκεδαστική προσέγγιση του θέματος, με ένα ενδιαφέρον video πατήστε εδώ (VIDEO 10)
(Πηγή: <<Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά>> του Simon Singh)
|
|
Πριν διαβάσετε τις σημειώσεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος για τη Β΄ΕΠΑ.Λ. , δείτε το διπλανό video, στο οποίο δείχνει πως σχεδιάζουμε το Πυθαγόρειο σπιράλ. Στο video αυτό κατασκευάζουμε αρχικά ένα ορθογώνιο τρίγωνο με τις 2 κάθετες πλευρές να έχουν μήκος 1. Με τη βοήθεια του Πυθαγορείου Θεωρήματος βρίσκουμε ότι η υποτείνουσα έχει μήκος ρίζα 2. Συνεχίζουμε την σχεδίαση με ένα νέο ορθογώνιο τρίγωνο, που έχει μία κάθετη την ρίζα 2 και την άλλη κάθετη πάλι το 1, οπότε βάση του Πυθαγορείου θεωρήματος προκύπτει η υποτείνουσα μήκους ρίζα 3 κ.ο.κ. Όπως καταλαβαίνεται με αυτό το σχέδιο μπορούμε να σχεδιάσουμε (κατασκευάσουμε) το πραγματικό μήκος όλων των ριζών , που το αποτέλεσμά τους δεν είναι ακέραιος , τουλάχιστον μέχρι την ρίζα 15 .Καλή διασκέδαση και καλή σχεδίαση.
|
Ας επανέλθουμε όμως τώρα ξανά στο Πυθαγόρειο θεώρημα . Οι αποδείξεις , που έχουν δημοσιευτεί είναι πραγματικά πάρα πολλές , περισσότερες από 956 , αλλά εγώ θα αναφέρω 2 , μία του σχολικού βιβλίου της Β'τάξης Ενιαίου και Επαγγελματικού Λυκείου και μία αλγεβρική απόδειξη, που είναι πραγματικά πολύ εύκολη. Παρ' όλα αυτά σας προτείνω τη σχετική ιστοσελίδα με τις αποδείξεις, όπου κάποιες από αυτές είναι πολύ εύκολες, άλλες πρωτότυπες και άλλες αρκετά δυσνόητες. Αν τους ρίξετε μια ματιά, σίγουρα θα βρείτε κάποια, που θα σας ταιριάζει και θα μπορείτε να την έχετε πάντα στο μυαλό σας.
Σημειώσεις ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ για την Β' τάξη ΕΠΑ.Λ. εδώ(Σε μορφή PDF)
Παρακάτω μπορείτε να τις διαβάσετε χωρίς να τις κατεβάσετε.
Σημειώσεις ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ για την Β' τάξη ΕΠΑ.Λ. εδώ(Σε μορφή PDF)
Παρακάτω μπορείτε να τις διαβάσετε χωρίς να τις κατεβάσετε.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ GEOGEBRA
Αφού διαβάσετε τις παραπάνω σημείωσεις, για δείτε και την παρακάτω εφαρμογή του συναδέλφου Τρύφων Παύλου, που μας δείχνει με παραστατικό τρόπο την απόδειξη του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Για να δείτε την εφαρμογή από την αρχή , βγάλτε το τικ από το Σκεπτικό και στη συνέχεια βάλτε ένα-ένα τικ στην Παρατήρηση- Σκεπτικό - Εκτέλεση.
Μία συνοπτική παρουσίαση του Πυθαγορείου Θεωρήματος , κυρίως για μαθητές Β΄Γυμνασίου , μπορείτε να δείτε εδώ . Η μέθοδος παρουσίασης είναι αρκετά πρωτοποριακή και ενδιαφέρουσα , πρόκειται για μία Διαδραστική Αφίσα με κεντρικό θέμα το Πυθαγόρειο Θεώρημα. Ένα αναλυτικό φύλλο εργασίας για τη Β΄Γυμνασίου θα το βρείτε εδώ.
Περιμένω σχόλια εδώ.
Περιμένω σχόλια εδώ.
ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΤΟΥ GEOGEBRA
Eπειδή όμως οι ξερές αποδείξεις είναι λίγο άκομψες , δείτε εδώ , μερικές από αυτές με τη χρήση του Geogebra. Είναι πραγματικά μια εντυπωσιακή δουλειά που αναρτήθηκε στον ιστότοπο : eisatopon
Μία από τις πολλές αποδείξεις μπορείτε να δείτε στο παρακάτω video.
