• ΑΡΧΙΚΗ
    • ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑ
  • Γ ΄ ΕΠΑ.Λ.
    • ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
    • ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
    • ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΌΡΙΑ-ΣΥΝΕΧΕΙΑ >
      • Εισαγωγή στις Συναρτήσεις
    • ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ
    • ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
  • ΤΟΜΕΙΣ
    • ΑΛΓΕΒΡΑ >
      • Κλάσματα >
        • Ιστοεξερεύνηση στα Κλάσματα (WEBQUEST)
      • Εξισώσεις 1ου βαθμού
      • Εξισώσεις 2ου βαθμού
      • Παραγοντοποίηση
      • Μιγαδικοί αριθμοί (UPDATED) >
        • Θεωρία Μιγαδικών Αριθμών
    • ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ >
      • Εισαγωγή στην Τριγωνομετρία . >
        • Εφαπτομένη Οξείας Γωνίας
        • Ημίτονο - Συνημίτονο Οξείας Γωνίας
        • Οι Τριγωνομετρικοί Αριθμοί των γωνιών 30, 45, 60 μοιρών.
      • Σύστημα αξόνων
      • Τριγωνομετρικός κύκλος
      • Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις
    • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ >
      • Πυθαγόρειο Θεώρημα >
        • Διαδραστική Αφίσα στο Πυθαγόρειο Θεώρημα
        • Φύλλο Εργασίας (Β΄γυμνασίου)
      • Επίκεντρη-Εγγεγραμμένη γωνία σε κύκλο.
      • Όγκος πυραμίδας
      • Ισότητα Τριγώνων
      • Διχοτόμος γωνίας
      • Μεσοκάθετος Ευθύγραμμου Τμήματος
    • ΑΝΑΛΥΣΗ >
      • Εισαγωγή στις Συναρτήσεις >
        • Η έννοια της συνάρτησης
        • Κατρεσιανές συντεταγμένες- Γραφική παράσταση
        • Η συνάρτηση y=αχ
        • Η συνάρτηση y=αχ+β
        • Επανάληψη στις y=αχ και y=αχ+β
        • Η συνάρτηση y=α/χ
      • Συναρτήσεις-Όρια -Συνέχεια >
        • Φύλλο Εργασίας : Θεώρημα Bolzano και Θ.Ε.Τ.
      • Διαφορικός Λογισμός
      • Ολοκληρωτικός Λογισμός
  • ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ
    • ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΕΣ ΕΠΙΣΚΕΨΕΙΣ >
      • Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών (Πεντέλης)
      • CERN: Ένα ταξίδι στο κέντρο της ....Επιστήμης.
    • ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ-ΕΡΕΥΝΑ >
      • Εξοικονόμηση Ηλεκτρικής Ενέργειας
      • Το Πείραμα του Ερατοσθένη
      • Μέτρηση του Ύψους μιας Πυραμίδας (ΘΑΛΗΣ)
      • Μαθηματικά και Περιβάλλον
      • Οι Αριθμοί του Δάσους
      • Το Διαδίκτυο
      • Υπατία
    • ΚΑΤΑΣΚΕΥΕΣ >
      • Τρισδιάστατο Αστέρι
      • Origami >
        • origami crane
        • origami lily
        • origami cube
        • origami pyramid
      • moebius strip
      • Κύβος από 3 πυραμίδες
      • Ζωγραφίζοντας Μεγάλους Αριθμούς
      • Ζωγραφίζοντας με κύκλους
      • Μα καλά και στο χαρταετό υπάρχουν Μαθηματικά;
      • Κατασκευάζοντας ένα Ολόγραμμα
    • ΠΑΙΧΝΙΔΙΑ >
      • Tangram
      • Δυνάμεις του 2
    • ΓΡΙΦΟΙ >
      • Το μπουκάλι
      • 3 χωριά και 3 βρύσες
      • 2 αριθμητικοί γρίφοι
      • Ανακαλύπτοντας τα κλάσματα
    • ΒΙΒΛΙΑ >
      • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ
      • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ (e-books) >
        • 501 ΛΥΜΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
        • Α΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
        • ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
        • ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
        • Στο δρόμος για τον PISA , του Γ. Ι. ΡΙΖΟΥ
        • Πραγματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής
      • Η ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ στην Αρχαία Ελλάδα
      • LOGICOMIX
      • GEOMETRICO (e-book)
      • Ευκλείδη ''Στοιχεία'' (e-book)
      • ΟΠΕΡ ΕΔΕΙ ΠΟΙΗΣΑΙ
      • Sangaku the Japanese temple Geometry
      • ΤΟ ΤΕΛΕΥΤΑΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΦΕΡΜΑ.
      • ΥΠΟΘΕΣΗ ΡΙΜΑΝ, Η εμμονή με τους πρώτους αριθμο&#
    • ΤΑΙΝΙΕΣ >
      • {proof}
      • A BEAUTIFUL MIND
      • ΤΟ ΚΥΜΑ (Die Welle , ONLINE)
      • Ανάμεσα στους τοίχους (ONLINE)
      • ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΗ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ (ΝΤΟΚΙΜΑΝΤΕΡ, ONLINE)
      • Teachers A day in the life (ντοκιμαντερ , ONLINE)
      • The Red Ballon (ONLINE)
      • ΈΤΕΡΟΣ ΕΓΩ (ONLINE)
  • VIDEO
  • LINKS
  • ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
    • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ. Γ΄ ΓΕ.Λ.
    • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝ. Π. Γ΄ ΓΕ.Λ.
    • B' ΓΕ.Λ. : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ >
      • ΑΛΓΕΒΡΑ
      • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
      • MΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
    • Α ΄ ΓΕ.Λ. : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ >
      • ΑΛΓΕΒΡΑ >
        • Εκφωνήσεις και λύσεις των θεμάτων της Άλγεβρ
      • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
    • ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΤΑΞΗ ΕΠΑΛ
    • Α ΄ ΕΠΑ.Λ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ >
      • ΑΛΓΕΒΡΑ
      • ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
  • I.B.
    • I.B. EXAM PAPERS >
      • Mathematics Higher Level
    • Math internal : complex numbers >
      • Answer
    • Math internal : The Koch Snowflake >
      • Answer
    • Summer Review Math HL >
      • 106 problems
      • Solutions
  • ΙΣΤΟΛΟΓΙΟ
COMMON MATHS

Η ταινία του moebius

Picture
Για να κατασκευάσουμε την ταινία του moebius, κόβουμε από ένα φύλλο χαρτί μια ταινία όσο πλατιά θέλουμε (όχι και πολλή πλατιά) και στη συνέχεια πριν κολλήσουμε τα δύο άκρα της την περιστρέφουμε 180 μοίρες. Έτσι  έχουμε κατασκευάσει αυτό που είναι γνωστό ως  '' η ταινία του Moebius''.
Aς δούμε τώρα τρία πειράματα .
Αρχικά έχουμε την ταινία και στη συνέχεια ξεκινάμε να γράφουμε μια γραμμή στο μέσο του πλάτους  της ταινίας και κατά μήκος της (experiment1). Τέλος κόβουμε την ταινία κατά μήκος της γραμμής και...(μπορείτε να φανταστείτε τί θα γίνει;  experiment2)
Πριν δούμε το σχετικό video , θα σας περιγράψω  το δεύτερο
και τρίτο πείραμα.
Πάλι έχουμε μία ταινία  και αυτή τη φορά γράφουμε την γραμμή στο ένα τρίτο του πλάτους της. Κόβουμε πάλι την ταινία και ...(experiment3)
Τέλος παίρνουμε μια τρίτη ταινία και αρχικά την κόβουμε στο ένα τρίτο και στη συνέχεια το πλατύτερο κομμάτι το κόβουμε στο μέσο του πλάτους της.(experiment4)
Πάμε όμως να δούμε το σχετικό video τo οποίο θα αποκαλύψει τα αποτελέσματα των τριών πειραμάτων.


Τι λέτε όμως να φτιάξουμε μία ωραία και γρήγορη κατασκευή με την ταινία του Mobius . Προτείνω , λοιπόν να δείτε το διπλανό video και να ακολουθήσετε προσεκτικά τις οδηγίες για να σας βγουν οι 2 ωραιότατες καρδούλες. Καλό είναι να χρησιμοποιήσετε χαρτόνι αντί για χαρτί. Καλή διασκέδαση.
Πάνω στην ταινία του Moebius  βασίζεται και η λύση ενός γνωστού  γρίφου, που μπορείτε να δείτε εδώ.

August Ferdinand Moebius (1790-1868)

Picture
O August Ferdinand Moebius ήταν ένας Γερμανός μαθηματικός , που διέπρεψε στην ολοκλήρωση σημαντικών έργων στο πεδίο γενικά της Γεωμετρίας. Ο ίδιος, ωστόσο, έγινε εξαιρετικά δημοφιλής, πέρα από το επιστημονικό επίπεδο, χάρη στην ευρηματική ανακάλυψη που σήμαινε η ταινία που φέρει το ονομά του. Λέγεται συνήθως ότι η δημιουργική ικανότητα των επιστημόνων , ιδιαίτερα των μαθηματικών , φτάνει στο απόγειο της κατά τα πρώτα χρόνια της νεότητας και ότι χρησιμοποιούν την ωριμότητα για να τελειοποιήσουν τα πρώτα και πρωτότυπα ευρήματά τους . Ο Moebius αποτελεί μια ξεκάθαρη εξαίρεση αυτού που μόλις προαναφέραμε , αφού δημιούργησε από ένα διδιάστατο αντικείμενο ( το φύλλο χαρτί) ένα τριδιάστατο (την ταινία ) χωρίς να την μεταβάλη σε ηλικία 68 χρονών.
Το ενδιαφέρον που προκάλεσε η ταινία του Moebius υπερέβη το καθαρά μαθηματικό πλαίσιο και βρήκε ενδιαφέρουσες βιομηχανικές και τεχνικές εφαρμογές , οι οποίες αποτέλεσαν αφετηρία για περισσότερες από δέκα πατέντες , όπως για παράδειγμα μια ταινία που μπορεί να εγγραφεί και από τις δύο πλευρές , ανακάλυψη που εφαρμόστηκε και στις μαγνητοταινίες , ταινίες μεταφοράς που υπόκεινται στη μισή από την αναμενόμενη φθορά ή ταινίες λειαντικού υλικού που αντέχουν το διπλάσιο από τις συμβατικές.
(Πηγή : Παιχνίδια ευφυ'ι'ας , De AGOSTINI )

Maurits Cornelis Escher (1898-1972) 

Picture
Μια τόσο πρωτότυπη και γεμάτη φαντασία αναπαράσταση της ταινίας του Moebius , όπως αυτή που αναπαράγει αυτή η εικόνα , θα μπορούσε να είναι μόνο ιδέα ενός καλλιτέχνη του βεληνεκούς του Ολλανδού Maurits Cornelis Escher. Ο Escher ήταν προικισμένος με μια εκπληκτική ικανότητα να φαντάζεται και να αναπαριστά τις πιο πολύπλοκες σχέσεις χώρου , πράγμα που του επέστρεψε να δημιουργήσει κατά τη διάρκεια της ζωής του ένα γραφικό έργο γεμάτο εικόνες που βάζουν συνεχώς σε δοκιμασία την ικανότητα αντίληψης του θεατή .  Εδώ μπορείτε να θαυμάσετε μερικά από τα εκπληκτικά σχέδιά του , που πραγματικά ακροβατούν μεταξύ της λογικής και της οφθαλμαπάτης.
(Πηγή : Παιχνίδια ευφυ'ι'ας , De AGOSTINI )

Felix Klein (1849-1925)

Picture
Όπως η διδιάστατη ταινία υπέστει την μετατροπή του Moebius και προέκυψε η τριδιάστατη ταινία του Moebius έτσι και αυτή με την σειρά της αν υποστεί την τοπολογική μετατροπή του Klein τότε προκύπτει η τετραδιάστατη κατασκευή ''Η φιάλη του Klein''.
Η φιάλη που δημιούργησε ο Γερμανός μαθηματικός  Felix Klein είναι το αποτέλεσμα μιας άσκησης << μαθηματικής παπυροφλεξίας >>.
Μπορούμε να κατασκευάσουμε θεωρητικά  μια φιάλη του Klein αν πάρουμε μια μακριά λωρίδα  χαρτιού και ενώσουμε τις μεγάλες άκρες της , φτιάχνοντας με αυτόν τον τρόπο έναν κύλινδρο. Στην συνέχεια χρειάζεται να κάνουμε το ταχυδακτυλουρικό σε μια ανώτερη διάσταση. Αυτό που κάνουμε είναι ότι εισάγουμε το ένα άκρο του κυλίνδρου στο σώμα του,(χωρίς αυτό να κοπεί!!!) και ενώνουμε τα δύο άκρα της . Ένα από τα πολλά θαυμαστά αυτής της φιάλης , πέρα από τις ενδιαφέρουσες τοπολογικές της ιδιότητες , είναι ότι δεν μπορεί ποτέ να γεμίσει , αφού αρχίζει να αδειάζει καθώς γεμίζει. Τέλος αν μπορούσαμε να κόψουμε την φιάλη του Klein στο πλάι τότε θα προέκυπτε η ταινία του Moebius, δείτε το παρακάτω video το οποίο είναι άκρως κατατοπιστικό.
(Πηγή : Παιχνίδια ευφυ'ι'ας , De AGOSTINI )


Powered by Create your own unique website with customizable templates.